Clase 19 - Interferencia y Difracción

Prof. Juan Mauricio Matera

14 de junio de 2019

Luz coherente vs luz incoherente
Interferencia
Difracción
Redes de difracción

Luz coherente vs luz incoherente

Intensidad de la superposición de ondas electromagnéticas

La intensidad de una onda plana no depende de su fase: \[ I =|\langle \vec{S}\rangle| = \varepsilon_0 c \langle |\vec{E}|^2 \rangle = \frac{\varepsilon_0 c}{2} |\vec{E}^{0}|^2 \]

Los efectos de coherencia sólo serán visibles si se cuenta con dos fuentes.

Decimos que dos fuentes son coherentes si la diferencia de fase entre ambas está definida y se mantiene constante espacial y temporalmente

Podemos estimar \[I_{12} \approx 2 \varepsilon_0 c \langle(\vec{E}^{(0)}_1 \cdot \vec{E}^{(0)}_2)\rangle \langle \cos(\delta)\rangle\] con
\(\delta\) la diferencia de fase entre las ondas.
\(\langle(\vec{E}^{(0)}_1 \cdot \vec{E}^{(0)}_2)\rangle\) el promedio de las amplitudes de ambas ondas.
\(I_{12}\) se anula si
- ambas ondas tienen polarizaciones complementarias y/o
- los haces no se superponen, y/o
- el desfasaje entre las ondas es \(\pi/2\), o
- el desfasaje varía en el tiempo (ondas incoherentes).

Por lo tanto, para observar el fenómeno de interferencia, se necesita que

O bien dos fuentes aproximadamente monocromáticas y con polarizaciones no ortogonales,
O bien dos fuentes correlacionadas

Fuentes monocromáticas

Decimos que una fuente de radiación electromagnética es monocromática y polarizada si, a distancias grandes de esta, la radiación que produce puede modelarse según una onda plana con longitud de onda definida \[ \vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}_0 \cos(\vec{k}\vec{x}-\omega t) \]
En la práctica, no existen fuentes monocromáticas: Si \(|\omega -\omega_0|<\Delta \omega\), y \(|\vec{k}-\vec{k}_0|<\Delta k\) para un cierto \(\omega_0 \gg \Delta \omega\) y un \(\vec{k}_0/ |\vec{k}_0|\gg \Delta k\), podemos describir la radiación como \[ \vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}_0(\vec{r},t) \cos(\vec{k}_0\vec{x}-\omega_0 t + \phi(x,t)) \] donde \(\vec{E}_0(\vec{r},t)\) y \(\phi(x,t)\) varían muy lentamente frente a \(\vec{k}_0\cdot \vec{x}-\omega_0 t\).
En tal caso, decimos que la fuente es aproximadamente monocromática, con un tiempo de coherencia \[ \tau_C = \frac{2\pi}{\delta \omega} \]

Para la luz del sol, \(\tau_C \approx 4 \times 10^{-15}{\rm s} = 4 {\rm fs}\)
Para una fuente LED, \(\tau_C \approx 50 {\rm f s}\)
Para la luz laser, \(\tau_C \approx 100 \mu{\rm s}\)
El tiempo de respuesta del ojo humano es \(\approx 17{\rm ms}\).

Por este motivo, en la práctica no es posible ver a simple vista fenómenos de interferencia a partir de fuentes independientes.

Longitud de coherencia

Se define Longitud de coherencia como la distancia máxima entre dos puntos de un haz de luz tal que su relación de fase es constante.
En un medio no dispersivo, se puede estimar por \(l_c= c \times \tau_c = \frac{\lambda^2}{\Delta \lambda}\)
Dos puntos sobre un frente de onda, separados por una distancia \(<l_c\) pueden pensarse como dos fuentes coherentes.
Para una fuente con \(t_C\approx 4 {\rm fs}\), \(l_c \approx 1.2 {\rm \mu m}\).
Para una fuente laser, \(t_C\approx 100{\rm \mu s}\) y \(l_c\approx 30{\rm km}\)

Fuentes correlacionadas

Dos fuentes están correlacionadas si sus relaciones de fase se mantienen constantes en el tiempo, aunque no sean necesariamente coherentes por separado.
Un ejemplo de esto lo da la luz proveniente de

El experimento de dos rendijas

Para producir una fuente coherente, en 1801, Tomas Young usó una única fuente de luz, a la que hizo incidir sobre una pantalla con dos pequeñas aberturas.
La fuente produce luz térmica (no monocromática, y no polarizada), con distribución espectral centrada en \(\lambda_0\).
La fuente se encuentra lo suficientemente lejos de la pantalla para asumir que se trata de un frente de onda plano.
El ancho de las rendijas es grande frente a la \(\lambda_0\)
La separación entre las rendijas es del orden de \(\lambda_0\).
La luz a la salida interfiere sobre una pantalla ubicada también a una distancia grande de las rendijas (aproximación paraaxial).

Interferencia

Principio de Huygens-Fresnel

Cada punto sin obstrucción de un frente de onda, en un instante de tiempo determinado, sirve como fuente de trenes de onda secundarios esféricos (de la misma frecuencia que la onda primaria). La amplitud del campo óptico en cualquier punto más allá es la superposición de todos estos frentes de onda (considerando sus amplitudes y fases relativas).

Para entender el patron de interferencia, consideremos primero el caso de una fuente monocromática, incoherente, polarizada en una cierta dirección.

Asumimos que el frente de onda, al alcanzar las rendijas, tiene la forma \[\vec{E}_0\cos(\vec{k}_0\cdot \vec{x}-\omega_0 t+\phi(t))\,,\] con \(\vec{k}_0\) normal a la pantalla.
Sobre la pantalla, \[\begin{eqnarray} I&\approx& I_0 (1 + 2 \cos(\sin(k_0 x a/L)) )\\&=& 2 I_0 \cos(\sin(k_0 x a/L))/2)^2 \end{eqnarray}\] con \(I_0\) la intensidad en ausencia de coherencia.
Los máximos de interferencia se encuentran para \[ x = 2 n \pi L/(a k_0)= n \frac{\lambda L}{a} \]

Notemos que como para la luz del sol, (o de una vela) \(\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \approx 1/6\), los primeros máximos y mínimos están localizados en posiciones parecidas para las diferentes longitudes de onda.
El experimento demostró el caracter ondulatorio de la luz.

Interferencia por división de amplitudes

Cuando la luz incide sobre una película delgada de un material transparente, esta se divide en haces reflejados y transmitidos en cada interface.
Si el material no presenta defectos, los haces transmitidos y reflejados resultan coherentes entre sí.
En este caso, es posible ver suficientes órdenes de interferencia como para que los máximos de intensidad para diferentes longitudes de onda se vuelvan visibles.

Ejemplo: Interferencia por películas delgadas

Aplicaciones

Difracción

La difracción es un fenómeno característico de las ondas producido cuando estas encuentran un obstáculo.
Consiste en la aparición de oscilaciones de intensidad características, en torno al borde del obstáculo.
El efecto se vuelve visible cuando el obstáculo tiene dimensiones conmensuradas con la longitud de onda.

Interferencia por múltiples rendijas

Podemos calcular el caso de la interferencia de muchas rendijas equiespaciadas, asumiendo que los corrimientos de fase

\[\small \vec{E}(z,t)=\vec{E}_0\left[\cos(\vec{k}_0\vec{x}-\omega_0 t)\sum_{m=0}^{N-1}\cos(m \delta)- \sin(\vec{k}_0\vec{x}-\omega_0 t)\sum_{m=0}^{N-1}\sin(m \delta) \right] \]

donde \[ \small \frac{\sum_{m=0}^{N-1} \cos(m \delta)}{ \cos( (N-1)\delta/2)} =\frac{\sum_{m=0}^{N-1} \sin(m \delta)}{ \sin( (N-1)\delta/2)} =\frac{\sin(N \delta/2 )}{\sin(\delta/2)} \mbox{ de manera que} \]

\[ I=\varepsilon_0 c \langle |\vec{E}|^2\rangle=I_0 \frac{\sin^2(N \delta/2 )}{\sin^2(\delta/2)} \]

Luego, el patrón de interferencia para \(N\) rendijas separadas por una distancia \(a\) tendrá la forma \[ I=I_0 \frac{\sin^2(N \pi a x/(\lambda L))}{\sin^2(\pi a x/(\lambda L))} \]

Difracción de Fraunhofer

Por el principio de Huygens, una abertura rectangular de ancho \(w\) puede pensarse como el límite \[ N\rightarrow \infty, \;\;\; a = w/N \] con lo que se obtiene \[ I(x)=I_0 N^2 \frac{\sin^2(w \pi x /(\lambda L))}{\sin^2(w/N \pi x /(\lambda L))}= I_0 (\lambda L) \frac{\sin^2(w \pi x /(\lambda L))}{w^2 \pi^2 x^2} \]

Los mínimos de difracción se encuentran en \[ x_m=m \frac{L \lambda}{w} \;\; m\in {\mathbb Z}, m\neq 0 \]
Los máximos se encuentran entre pares de mínimos consecutivos, y son de la forma \[ X_m=\frac{\lambda L \beta_m}{\pi w} \;\;\; \beta_m =\tan(\beta_m) \]

Difracción por un agujero circular

Volviendo a la difracción por una única abertura, un caso muy importante es el de la abertura circular.
La intensidad para la el patrón proyectado se distribuye en forma circular, y para un agujero de radio \(R\) tiene la forma \[ I(r)=I_0 \left(\frac{J_1(k R r/(L))}{2 k R r/L}\right)^2 \] donde \(J_1\) es la función de Bessel de orden 1.
El primer mínimo de intensidad se localiza en \(r_1=1.22 \frac{\lambda}{2 R}\)

Principio de Babinet

El principio de Babinet establece que el patrón de difracción de un obstáculo es complementario al que se obtiene por una pantalla con el obstáculo recortado.
Es una consecuencia del principio de superposición lineal de la Ecuación de ondas.

Límite de difracción

La difracción limita la resolución de objetos vistos a través de un sistema óptico.
Para obtener mayores resoluciones se requieren
- mayores diámetros en las lentes y espejos.
- menores longitudes de onda.
Debido al principio de Babinet, lo mismo aplica al intentar distinguir dos objetos separados por distancias menores a la longitud de onda de la luz usada para iluminarlos.

Criterio de Rayleigh

La difracción por aberturas circulares es de gran importancia porque el ojo y muchos instrumentos ópticos tienen este tipo de aberturas.
La limitación en la resolución de las imágenes se cuantifica en términos del criterio de Rayleigh con el que la resolución límite de un sistema puede ser calculado:
Para resolver dos objetos por una lente circular de diámetro \(D\), la distancia mínima entre estos es aquella en la que el máximo de intensidad de la imágen de uno de ellos se localiza en la posición del primer mínimo de intensidad de la imágen del otro.

\[ \theta_R=1,22 \frac{\lambda}{D} \]

Poder resolvente

El ojo humano y los telescopios

Suponiendo \(\lambda=500{\rm nm}\), y un diámetro de pupila de \(D=3{\rm mm}\), entonces \[\begin{eqnarray} \theta_R&=&1,22 \times \frac{5 \times 10^{-6}}{3 \times 10 ^{-3}}{\rm rad}\\ &=&0,2{\rm mrad}\approx 40'' \mbox{ de arco} \end{eqnarray}\]
Idealmente, dos puntos separados por un milímetro, pueden resolverse hasta a 5 metros de distancia.
Los defectos visuales acortan esta distancia.
El espejo del telescopio espacial Hubble tiene un diámetro de \(2,4{\rm m}\). Luego, su poder de resolución es en el visible de \[ \theta_R=0,25 {\rm \mu rad} \approx 0,043'' \mbox{ de arco} \]
Debido a la turbulencia atmosférica, un telescopio en tierra del mismo diámetro resuelve sólo entre \(0,5''\) y \(2''\).

Cómo fotografiar un agujero negro

Un agujero negro es un objeto astronómico tan masivo que la luz no puede escapar de su propia gravedad.
Fue predicho por la teoría de la relatividad general de A. Einstein.
El objeto tiene relevancia en astrofísica.
Tiene un tamaño aparente de \(15''\times 10^{-6}\approx 72 {\rm p rad}\) de arco.
Para obtener una fotografía con resolución fotográfica, se requiere resolver a la milésima de ese arco: \(\theta_R=72 {\rm f rad}\).
\(D> 500 {\rm nm}/(72 {\rm f rad})\approx 7000{\rm km}\) (El radio de la tierra es \(6300{\rm km}\)).

Redes de difracción

Consideremos ahora un arreglo periódico de perforaciones, o puntos reflectantes sobre una superficie.

Si las perforaciones son de ancho \(w\), la separación entre puntos sucesivos es \(a-w\) y la red es de tamaño \(W\gg a\), los máximos secundarios de interferencia desaparecen y por lo tanto, la intensidad se proyecta en las direcciones principales: \[ a \sin(\theta) = m \lambda \]
como \(|\sin(\theta)|\leq 1\), \(|m| \leq \frac{a}{\lambda}\)
En esas direcciones, la intensidad queda modulada por el factor de difracción \[ I_m = \frac{\sin(m w \pi /a )^2}{(w \pi m /a)^2} \]