Clase 18 - Optica Geométrica - Refracción - Polarización
12 de junio de 2019
Ondas electromagnéticas y haces de luz
- Si una onda plana incide sobre una pantalla opaca con un agujero de dimensiones mucho mayores que la longitud de onda \(\lambda\), del agujero emergerá un haz de radiación electromagnética, en la dirección de propagación de la onda inicial.
- Dentro del haz, los campos se comportarán de la misma manera que lo harían si la pantalla no estuviese presente.
- Al interactuar con la materia, el haz de luz puede curvarse o cambiar de dirección, pero siempre sigue una trayectoria tangente a la dirección del vector de Poynting promedio dentro del haz.
- Llamamos rayos a estas líneas de campo asociadas al vector de Poynting
- Podemos pensar a la onda plana como una superposición de haces de luz.
- Lo mismo vale para frentes de onda más generales si su radio de curvatura es \(\gg \lambda=2\pi c/\omega\).
- Debido a la presencia de la interface, los campos en su entorno al incidir una onda monocromática toman la forma
donde asumimos que los medios involucrados no presentan absorción.
Si el segundo medio es un conductor ideal, \(\vec{E}_{T}^{(0)}=0\)
Las expresiones son válidas dentro de los respectivos haces.
Direcciones de Reflexión y Refracción. Leyes de Snell
- La continuidad de las componentes de los campos tangenciales a la interface implican que las fases de las tres ondas deben coincidir sobre todos los puntos de esta.
- Esta condición implica las llamadas Leyes de Snell
- La onda reflejada yace sobre el plano de incidencia y su dirección apunta en forma simétrica al rayo incidente.
- la onda transmitida se propaga con dirección sobre el plano de incidencia, satisfaciendo la Ley de Snell \[ n_1 \sin(\theta)= n_2\sin(\theta') \]
Reflexión total
- De la Ley de Snell de refracción, \[ n_1 \sin(\theta)= n_2\sin(\theta') \] Luego, si \(n_1 > n_2\), para ángulos de incidencia \(\theta > \theta_c= \arctan(n_2/n_1)\), no hay onda reflejada: en estas condiciones la reflexión es total.
Aplicación: Fibras ópticas
- Las fibras ópticas son en la actualidad uno de los principales medios de transmisión de información, debido a su gran ancho de banda, bajas pérdidas, seguridad y bajo costo de producción e instalación.
- Consisten en una fibra de vidrio revestida con un material de menor índice de refracción.
- Para que se cumpla la condición de reflexión total, la luz que ingresa a la fibra debe hacerlo con un ángulo de entrada \[ \theta_{in} <\theta_{max} = \arcsin(\frac{\sqrt{n_{2}^2- n^2_{\rm f}}}{n_{1}}) \]
- Se denomina Apertura Numérica de la fibra a la cantidad \(n_{1}\sin(\theta_max)=\sqrt{n_{2}^2- n^2_{\rm f}}\)
Medios dispersivos
- En los medios materiales, \(\varepsilon\) y \(\mu\) dependen en general de la frecuencia, y a través de estos, el índice de refracción.
- Aproximación de Cauchy: \[ n \approx B+ \frac{C}{\lambda^2} \]
- Esta es la causa del origen de la descomposición de la luz blanca en prismas y en el arcoiris.
Medios Inhomogeneos: el principio de Fermat
- Un medio inhomogeneo puede representarse como una sucesión de “capas” formadas por medios homogeneos.
Una forma más directa para encontrar la trayectoria de los rayos de luz (que en estos medios son curvas) es mediante el Principio de Fermat:
Los haces de luz que pasan por dos puntos, lo hacen siguiendo la trayectoria de tiempo mínimo: \[ T(\vec{s})=\int \frac{n(\vec{s})}{c}|d\vec{s}| \]
- Es posible deducir las leyes de Snell de este principio.
- Aplicable en general al movimiento ondulatorio en medios no homogéneos.
Aplicación: espejismos
- Un caso típico de un medio con índice de refracción no homogeneo es el aire en presencia de un gradiente de temperatura.
- \(n(T)\propto \rho(T) \propto 1/T\)
- Sobre el asfalto, la temperatura del aire tiene un gradiente de temperatura hacia arriba: Los rayos que vienen de arriba se curvan hasta reflejarse sobre el aire cercano al asfalto.
- Sobre masas de agua, que se encuentran a menor temperatura que el aire circundante, el gradiente apunta hacia abajo, de manera que las capas de aire más calientes parecen reflejar en el cielo la imagen de los objetos en tierra.
Coeficientes de Fresnel
- Una vez conocidas las direcciones de propagación, en medios lineales no absortibos, las Ecuaciones de Maxwell permiten determinar la intensidad y polarización de las ondas transmitidas y reflejadas.
- Dos direcciones de polarización conservadas: En el plano de incidencia (P) y paralela a la interface (S).
Ángulo de Brewster
Para una onda con polarización \(P\), existe un ángulo \(\theta_B\) tal que se anula el coeficiente de reflexión. Esto ocurre si \[\begin{eqnarray} \cos(\theta_B)&=&z_2/z_1 \cos(\theta_B^{T})\\ &=&z_2/z_1 \sqrt{1-n_1^2/n_2^2 \sin(\theta_B)^2} \end{eqnarray}\] Asumiendo un medio no magnético, \(z_m=z_0/n_m\). Remplazando y despejando, \[\tan(\theta_B)=\frac{n_2}{n_1}\]
- Para este ángulo, la luz reflejada sólo puede tener polarización \(S\).
Óptica Geométrica
- Dadas una o varias fuentes puntuales de radiación electromagnética, y una distribución de medios materiales, el problema de la óptica geométrica consiste en determinar la densidad de flujo de energía (radiación) en todo el espacio.
- Como las fuentes son puntuales, una forma práctica de plantear el problema es en términos de líneas de flujo.
- En un medio lineal e isótropo, las líneas de flujo son líneas rectas.
- Por este motivo, en la terminología de la óptica geométrica, llamamos “rayos” (de luz) a estas líneas de flujo.
Definiciones
- Un sistema óptico queda definido por el conjunto de superficies que separan los medios por los que se propaga la luz.
- Un sistema formado por dos superficies refractantes se llama dióptrico (ej, lentes)
- Un sistema compuesto por una superficie reflectante se llama catóptrico (ej. espejos).
- En general un sistema óptico estará compuesto por varios dióptricos y catóptricos.
Convención de signos (DIN 1335:2003-12)
- La luz viene desde la izquierda hacia la derecha.
- Las distancias horizontales se miden en la dirección de avance de la luz (eje x).
- Las distancias verticales son positivas hacia arriba (eje y).
- Como consecuencia, los radios de curvatura son positivos si la superficie es cóncava, y negativos si es convexa
Puntos y rayos “notables”
- Todo rayo que pasa por el centro de curvatura se refleja sobre sí mismo (reflexión normal).
- En la aproximación paraaxial, todo rayo que incida paralelo al eje óptico pasa por un punto \(f\), sobre el eje óptico, en el punto medio entre el centro de curvatura y el espejo. Llamamos a este punto Foco del espejo.
- Se denomina distancia focal, de valor \(R/2\), a la distancia entre el espejo y el foco.
- Todo rayo que pasa por el foco, es reflejado en la dirección paralela al eje óptico.
- Si nos apartamos de la aproximación paraaxial, los rayos que inciden paralelos al eje óptico ya no necesariamente pasan por \(f\). Decimos que el espejo sufre de aberración esférica en ese límite.
Aplicaciones
- Aumentar el ángulo de visión (Ej, espejos retrovisores).
- Aumentar imágenes en cavidades pequeñas (espéculo odontológico).
- Concentrar radiación electromagnética en un punto ( colectores solares, antenas de radio, etc).
- Proyectar radiación electromagnética en una dirección dada (antenas direccionales).
- En general, se puede reducir la aberración esférica modificando la curvatura del espejo (espejos parabólicos)
Espejos planos
- Un espejo plano es el límite en que \(f=R/2 \rightarrow \infty\).
- En este caso, \(x'=-x\) (imágen virtual), \(m=1\) (no hay aumento transversal) y \(\ell=-1\).
- Las imágenes sufren una “inversión” respecto al eje óptico.
- Formación de imágenes por difracción en un medio. . . .
Foco imágen y foco objeto
- Foco imágen: Posición de la imágen de un objeto en \(x=\rightarrow \infty\): \(x'=f'=\frac{R n_2}{n_1-n_2}\)
- Foco objeto: Posición de un objeto que forma una imágen en el punto \(x'\rightarrow \infty\): \(x=f=\frac{R n_1}{n_1-n_2}\)
- Aumento transversal: \[m=\frac{x'/n_2}{x/n_1}\]
- Aumento longitudinal: \[\ell=-\frac{f'}{f}m^2=- \frac{n_2}{n_1}m^2\]
Una lente es un sistema óptico formado por dos dióptricos que separan dos medios (típicamente, uno es el aire), y donde al menos uno de los diópricos no es plano.
Marcha de rayos y puntos notables
- De manera similar que en un dióptrico, podemos definir
- foco objeto: posición de un objeto que genera una imágen en \(x'\rightarrow \infty\). \[\small f= \frac{1}{\left(\frac{n_2}{n_1}-1\right)\left(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R}_1\right)} \]
- foco imagen: posición de la imágen de un objeto en \(x\rightarrow \infty\). \[ f'=-f \]
- Los rayos que ingresan paralelos al eje óptico salen de forma que pasan por el foco imágen o divergen desde este.
- Los rayos que pasan por el foco objeto salen de la lente en dirección paralela al eje óptico.
- Los rayos que ingresan en la dirección del centro óptico no se deflectan.
Aumentos
- Aumento transversal: \[ M=\frac{x'}{x}=\frac{f}{f-x} \]
- Aumento longitudinal \[ \ell=\frac{dx'}{dx}=\left(\frac{f}{f-x}\right)^2=M^2 >0 \]
Sistemas de lentes
- Aumento transversal total: \[M_{tot}=M_1 M_2 \ldots M_n\]
- Aumento longitudinal total: \[L_{tot}=L_1 L_2 \ldots L_n=M^2\]
- Distancia focal efectiva: \(f=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}+\ldots +\frac{1}{f_n}\)
- Potencia Dióptrica \(P=\frac{1}{f}=\sum_i P_i\)
- La potencia Dióptrica se mide en Dioptrías (\([{\rm D}]=1/[{\rm m}]\)).
- Esto permite alcanzar potencias dióptricas elevadas sin violar la condición de paraxialidad.