• Inducción Mutua: Dados dos solenoides acoplados magnéticamente, las variaciones de corriente en uno producen una FEM en el otro: \[ {\cal E}_{21}=-M \frac{d i_1}{dt} \] \[ {\cal E}_{12}=-M \frac{d i_2}{dt} \]
• Para un solenoide dentro de otro solenoide, \[ M=\mu_0 \frac{{\cal S}}{\ell}N_1 N_2 \] donde \({\cal S}\) es la sección del solenoide interior y \(\ell\) es \(\approx\) la longitud compartida. (notar la semejanza con la capacidad de un capacitor \(C=\varepsilon_0\frac{\cal S}{\ell}\))
• Para dos solenoides que comparten el mismo núcleo, de sección \({\cal S}\) \[ M\approx\mu\frac{\cal S}{\sqrt{\ell_1 \ell_2}}N_1 N_2 = \sqrt{L_1 L_2} \]

• Si dos bobinados comparten el mismo núcleo y no existen pérdidas, \[ \Phi_1 = \Phi_2 = \Phi \] en cualquier sección del núcleo.
• Luego, por la Ley de Faraday \[ V_1 = N_1 \frac{d\Phi}{dt} \;\;\mbox{y}\;\; V_2=N_2 \frac{d\Phi}{dt} \] de manera que
• \[ \frac{V_1}{N_1}=\frac{V_2}{N_2}\Rightarrow V_2 = V_1 \frac{N_2}{N_2} \]

• Además de autoinductancia e inductancia mutua, los solenoides presentan resistencia eléctrica.
• En las aplicaciones, las autoinductancias se representan como inductancias ideales localizadas, en serie con resistencias localizadas.
• De la misma manera, las inductancias mutuas se representan localizadas, y en serie con resistencias también localizadas.

• Si dos o más inductores reales de inductancia \(L_i\) y resistencia \(R_i\) se conectan en serie, resultan en una inductancia real equivalente con \[ L_{eq}=\sum_i L_i \;\;\;\;\; R_{eq}=\sum_i R_i \]
• Nótese que el resultado es consistente, despreciando los bordes, dividir un solenoide en dos tramos.

• Si dos o más inductores reales de inductancia \(L_i\) y resistencia \(R_i\) se conectan en paralelo, resultan en una inductancia real equivalente con \[ L_{eq}=\frac{1}{\sum_i L_i^{-1}} \;\;\;\;\; R_{eq}=\frac{1}{\sum_i R_i^{-1}} \]

• La relación \({\cal E}=-L \frac{dI}{dt}\) implica que al establecerse una corriente en un conductor, se absorbe una potencia \(P_e=-{\cal E}i=L i \frac{di}{dt}=\frac{L}{2}\frac{d i^2}{dt}\).
• Integrando esta expresión, vemos que para lograr una corriente estacionaria \(i\), se requiere una cantidad de energía \[ U_B =\int P_e dt=\frac{1}{2}L i^2 \]
• Cuando la corriente cesa, esta energía es entregada nuevamente al circuito.
  

• En el caso de un solenoide, podemos escribir esta energía \(U_B\) en términos del Campo magnético producido por la corriente: \[\begin{eqnarray*} U_B&=& \frac{L i^2}{2}=\frac{\mu_0 {\cal S} N^2 i^2}{2\ell}\\ &=&\frac{\mu_0^2 {\cal S}{\ell} N^2 i^2}{2\mu_0\ell^2}=\frac{(\mu_0 i N/\ell)^2}{2\mu_0} ({\cal S}{\ell})\\ &=& \frac{|\vec{B}|^2}{2\mu_0}{\cal V}=\int_{\cal V} {\cal U}_Bd{\cal V} \end{eqnarray*}\] donde \({\cal V}\) es el volumen contenido dentro del solenoide y \({\cal U}_B=\frac{|\vec{B}|^2}{2\mu_0}\) la densidad de energía magnética.

• En un circuito, las resistencias, inductancias y capacidades se representan en forma localizada.
• Las Leyes de Kirchhoff siguen siendo válidas en circuitos con inductancias:
  • La suma algebráica de las caídas de potencial en toda malla es cero.
  • La suma algebráica de las corrientes en cualquier nodo se anula.
  • La corriente sobre cualquier rama es constante.

• En general, todo componente de un circuito siempre involucra, además de una resistencia, pequeñas contribuciones a la capacidad y autoinductancia del circuito, que típicamente pueden despreciarse si las variaciones de la corriente en el tiempo son pequeñas.
• Sin embargo, la inclusión en el circuito de componentes como motores y lámparas incandescentes, que involucran bobinados, o cables coaxiles largos contribuyen siempre con valores no despreciables de autoinductancia.

• En un capacitor, \(Q= C\Delta V_C\), pero \(\frac{d Q}{dt}=-i\) luego, \(i=-C\frac{d \Delta V}{dt}\).
• En una autoinductancia, \({\cal E}_{ind}=-L \frac{d i}{dt}\)
• En un transformador, \({\cal E}_{ind,2}=-M \frac{d i_1}{dt} -L_2 \frac{d i_2}{dt}\) y \({\cal E}_{ind,1}=-M \frac{d i_2}{dt} -L_1 \frac{d i_1}{dt}\)
• De esta manera, las ecuaciones que se siguen de las leyes de Kirchoff en circuitos con inductancias y capacidades son en general Ecuaciones diferenciales lineales acopladas.
• En el caso de sistemas estacionarios, las derivadas se anulan y recuperamos las ecuaciones algebráicas.

• Es el ejemplo más simple de circuito en un régimen no estacionario
• Por la Ley de mallas, una vez cerrado el circuito, \[ {\cal E}-V_C-i R=0 \]

\[ RC \frac{d V_C}{dt}={\cal E}-V_C \]

• Esta ecuación es análoga a la que obteníamos para la velocidad de un paracaídas, a partir de las Leyes de Newton \[ m \frac{d v_z}{dt}=m g - k v_z \]
• Para tiempos menores a \(\tau=m/k\), el paracaídas parecía caer en caída libre.
• Para tiempos mayores a \(\tau=m/k\), el paracaídas alcanzaba una velocidad límite constante \(v_{lim}=\frac{m g}{k}\)

• En general, la ecuación diferencial \[\frac{d f(t)}{dt}= \frac{f_{lim}}{\tau} - \frac{1}{\tau}f(t)\] con \(f_{lim}\) y \(\tau\) dos constantes, tiene soluciones \[ f(t)= f_{lim} + (f_0-f_{lim})e^{-t/\tau} \] donde \(f_0=f(0)\) es el valor inicial de la función.

Volviendo al circuito \(RC\), \[ RC \frac{d V_C}{dt}={\cal E}-V_C \Rightarrow \frac{d V_C}{dt}=\frac{\cal E}{RC} - \frac{1}{RC}V_C \] de manera que \(V_{C,lim}={\cal E}\), \(\tau=RC\) y por lo tanto, \[V_C(t)={\cal E}+(V_C(0)-{\cal E})e^{-t/\tau}\,.\]

• La corriente en el circuito se recupera vía \[i=C \frac{dV_C}{dt}=-\frac{C(V_{C}(0)-{\cal E})}{\tau}e^{-t/\tau}\] que se anula para \(t \gg \tau\).

Si, luego de cargar al capacitor, se retira la batería, la ecuación diferencial \[ \frac{d V_C}{dt}=\frac{\cal E}{RC} - \frac{1}{RC}V_C \] se reduce a \[ \frac{d V_C}{dt}= - \frac{1}{RC}V_C \] con la condición inicial, \(V_C(0)={\cal E}\).

• De esta manera, \(V_{C,lim}=0\), \(\tau=RC\) y \(V_C(t)={\cal E}e^{-t/\tau}\).
• La corriente en el circuito será \(i=C \frac{dV_C}{dt}=- \frac{C{\cal E}}{\tau}e^{-t/\tau}=\frac{{\cal E}}{R}e^{-t/\tau}\)
• Nótese que el signo negativo en la corriente se debe a que su circulación es opuesta que en la carga.

• En la descarga, un capacitor se comporta inicialmente como sí fuerse una FEM que decrece a medida que se descarga.

• Por la Ley de mallas, una vez cerrado el circuito, \[ {\cal E}+V_L-i R=0 \]
• En una autoinductancia, \(V_L=-L \frac{di}{dt}\), por lo que en general, \(V_L\neq 0\) fuera del régimen estacionario. Luego, \[ {\cal E}-L \frac{di}{dt} - R i =0 \] ó, \[ \frac{d i}{dt}=\frac{R}{L}(\frac{{\cal E}}{R}-i) \]
• Inicialmente, la corriente es nula, por lo tanto,

\(V_L=-L\frac{di}{dt}=-L \frac{i_{lim}}{\tau}e^{-t/\tau}=- i_{\lim} R e^{-t/\tau}\)

• Al conectar el interruptor, la autoinductancia produce una Fuerza Contra-Electromotriz que se opone al paso de la corriente.
• Para tiempos cortos respecto a \(\tau\), el inductor se comporta como un interruptor abierto.
• A tiempos largos, \(V_L\rightarrow 0\) y el circuito alcanza su régimen estacionario.

• En este circuito, se asume que el interruptor estuvo conectado por un tiempo largo, y en un momento se abre.
• La corriente inicial por el inductor viene dada por \(i_0=\frac{{\cal E}}{R}\).
• Al abrir el interruptor, la única malla a considerar es a la que contiene a \(L\) y a \(R_D\). \[ V_L-i R_D=0 \]
• La corriente será \(i(t)=i_0 e^{-t/\tau}\) con \(\tau=\frac{L}{R_D}\).
• \(\Rightarrow V_L=\frac{L}{\tau} i_0 e^{-t/\tau}=\frac{R_D}{R}{\cal E}e^{-t/\tau}\)
• De esta manera, por tiempos muy cortos (del orden de \(L/R_D\)) es posible lograr diferencias de potencial muy grandes.

• Si inicialmente se encuentra desconectado, al conectar el interruptor, \[\begin{eqnarray*} i_L(0)&=&V_C(0)=0\\ V_L&=&{\cal E}-i R\\ i&=&i_{C}=\frac{{\cal E}}{R+R_C} \end{eqnarray*}\]

• Luego de un tiempo largo de estar conectado, \((t\gg \tau_L=L/R_L, \tau_C=R_C C)\), \[\begin{eqnarray*} V_L&=&i_C=0\;\;\,\;V_C={\cal E}\frac{R_L}{R+R_L}\\ i&=&i_{L}=\frac{{\cal E}}{R+R_L} \end{eqnarray*}\]

• Inmediatamente al desconectar el interruptor, \[\begin{eqnarray*} i&=&0\,,\;\;\;\;i_L=-i_C=\frac{{\cal E}}{R+R_L}\\ V_C&=&{\cal E}\frac{R_L}{R+R_L} \;,\;\;\;\;V_L={\cal E}\frac{R_C}{R+R_L} \end{eqnarray*}\]