• Las líneas de campo magnético son siempre curvas cerradas. Por este motivo, el flujo de campo magnético a través de cualquier superficie cerrada \({\cal S}\) es siempre nulo: \[ \oint\!\!\!\!\!\oint_{ {\cal S}} \vec{B} \cdot d\vec{\cal S}=0 \]
• Esto es equivalente a decir que no existen cargas magnéticas (polos magnéticos) aisladas.

• Otra consecuencia de que las líneas de campo magnético sean cerradas es que el campo magnético no es conservativo. Vemos esto ya que la integral de línea de un campo sobre una línea de campo es siempre positiva: \[ \int_{{\cal C}} \vec{B}\cdot d\vec{\ell}= \int \vec{B}\cdot \vec{B}d\tau > 0 \] ya que \(\frac{d\vec{\ell}}{d\tau} =\vec{B}\).
• Sin embargo, como \(\vec{B}\) no es en sí proporcional a una fuerza, esta integral del línea no está asociada a un trabajo.
• En general, \(\oint_{{\cal C}} \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \int\int_{{\cal S}} \vec{j}\cdot d\vec{\cal S} = \mu_0 i_{\cal C}\)

donde \({\cal S}\) es cualquier superficie limitada por \({\cal C}\), \(\vec{j}\) es la densidad de corriente que atraviesa el \(d\vec{\cal S}\), e \(i_{\cal C}\) es la corriente neta que rodea \({\cal C}\)

El sistema presenta las siguientes simetrías:

• El sistema es invariante ante traslaciones paralelas al alambre \(\rightarrow \vec{B}(\vec{r})=\vec{B}(r,\phi)\).
• El sistema es invariante ante una reflexión respecto de un plano perpendicular al alambre, seguido por la inversión del sentido de la corriente \(\vec{B}(r,\phi)\cdot\hat{u}_z=0\Rightarrow \vec{B}(r,\phi)=B_r(r,\phi) \hat{r} + B_\phi(r,\phi) \hat{u}_\phi\) con \(\hat{u}_\phi=\hat{u}_z\times\hat{r}\).
• El sistema es invariante ante rotaciones alrededor del alambre.
  • \(\vec{B}(r,\phi)=B_r(r) \hat{r} + B_\phi(r) \hat{u}_z\times \hat{u}_r\)
  • Por la ley de Gauss, \(\Phi_{B}=\int\int_{\cal S}\vec{B}\cdot d\vec{S}=\vec{B}_r 2\pi r h=0\rightarrow \vec{B}=B_\phi(r)\hat{u}_\phi\)
  • Por la ley de Ampère, \(\oint_{\cal C}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B_\phi(r)2\pi r=\mu_0 i\) luego, \({\color{red}{B_\phi(r)=\frac{\mu_0 i}{2\pi r}}}\)

Un sistema con las mismas simetrías lo constituye un conductor cilíndrico.

• En este caso, para atacar el problema directamente con Biot y Savart, deberíamos descomponer la corriente en contribuciones infinitesimales, calcular las constribuciones al campo magnético según la Ley de Biot y Savart, y finalmente integrarlas.

• Por otro lado, mediante la ley de Ampère, el cálculo es igual de sencillo que para el caso del cable.

• El caso de un cable coaxil se obtiene de manera análoga, notando que \(i_{\cal C}=(r/a)^2 i\).

• En un solenoide recto y largo, las líneas de campo son forzadas a ser paralelas a su eje.

• Esto permite determinar la magnitud y el sentido del campo magnético directamente aplicando la Ley de Ampère sobre las líneas de campo dentro y fuera del solenoide: \[ B = \mu_0 i n \] donde \(n=N/L\) es la densidad de espiras.

• El cálculo también podría realizarse (de forma mucho más laboriosa) integrando las contribuciones de las espiras individuales, y es la forma de obtener el campo en el caso de solenoides cortos.

• Notamos además que, de la observación de las líneas de campo, si en un segmento el solenoide se interrumpe, el campo en la zona intermedia es aproximadamente igual al campo dentro del solenoide.

• Para calcular el campo, nos valemos de las simetrías que deben presentar las líneas de campo
• Debido a la simetría cilíndrica, independientemente de la forma de la sección del toroide, las curvas deben ser
  • O bien círculos concéntricos en el plano perpendicular al eje del toroide
  • O bien yacer sobre planos que contengan al eje del toroide.
• La segunda alternativa es descartada por la Ley de Ampère, ya que la corriente que atraviesa esos planos es despreciable.
• Aplicando la Ley de Ampère sobre las líneas de campo, encontramos nuevamente que \[|\vec{B}|=\mu_0 i n={\rm const}\] dentro del toroiode y nulo en su exterior.

• Consiste en un solenoide acoplado a un muelle, en presencia de un campo magnético fijo, uniforme.
• Al circular una corriente por el solenoide, el torque debido a la fuerza magnética desplaza la posición de equilibrio del solenoide: \[ \vec{\tau}_{muelle}+ \vec{\tau}_B = -k \delta \phi \hat{u}_{z} + 2 i L r N B \cos(\delta \phi) \hat{u}_{z}=0 \] luego, \(i= \frac{k \delta \phi}{ 2 L r N B \cos(\phi)} \approx \frac{k \delta \phi}{ 2 L r N B}\).

• Los motores eléctricos convierten energía eléctrica en energía mecánica.
• La corriente eléctrica que circula por el bobinado interactúa con el campo de los imanes originando un torque.
• Ese torque es utilizado para impulsar diferentes dispositivos mecánicos.
• En los motores reales, se utilizan bobinados con muchas espiras, de manera que el torque resultante es proporcional al número de estas.
• La potencia mecánica del motor viene dada por \[\begin{eqnarray*} P&=&\vec{\tau}.\vec{\omega}=(2 r i B L |\cos(\phi)|) \omega\\ &=&i \frac{d}{dt}|B {\cal S}\sin(\phi)| = |\frac{d \vec{M}\cdot \vec{B}}{dt}| \end{eqnarray*}\]

Las corrientes eléctricas son originadas por el movimiento microscópico de cargas. Si el alambre por el que circula la corriente tiene sección \({\cal S}\), la corriente que transporta se relaciona con el movimiento de los portadores de carga según \[ I= \vec{j}\cdot\vec{\cal S}= \sum_m q_m n_{m} \langle \vec{v}_m\rangle \cdot \vec{\cal S} \] donde \(q_m\), \(n_{m}\) y \(\langle \vec{v}_m\rangle\) son la carga, la densidad volumétrica y la velocidad media de cada especie de portadores. En términos de los portadores individuales,

De esta manera, \[ d\vec{F}_M = I d\vec{\ell}\times \vec{B} = \sum_m \sum_{k_m} (q_m \vec{v}_{m,k_m} \times \vec{B}) \] por lo que la fuerza magnética sobre cada portador será \[ \vec{F}_{M} = q \vec{v} \times \vec{B} \] con \(q\) la carga del portador y \(\vec{v}\) su velocidad. Si incluímos además el efecto del campo eléctrico \(\vec{E}\),

\[ \vec{F}_{EM} = q (\vec{E}+\vec{v} \times \vec{B}) \] que se conoce como Fuerza de Lorentz.

• La fuerza eléctrica es independiente de la velocidad
• \(\vec{F}_{E} \parallel \vec{E}\)
• El trabajo de la fuerza eléctrica es en general no nulo.
• Por lo tanto, la energía cinética de la carga puede cambiar.

• La fuerza magnética actúa solamente cuando la carga se mueve.
• \(\vec{F}_{M} \perp \vec{B},\vec{v}\)
• El trabajo de la fuerza magnética es nulo.
• Por lo tanto, la energía cinética de la carga no cambia debido a \(\vec{B}\).
• El efecto de la fuerza magnética es cambiar la dirección de la velocidad.
• En ausencia de campo eléctrico, un campo magnético induce un movimiento helicoidal alrededor de sus líneas de campo.

• Nótese que la fuerza magnética no realiza trabajo sobre cargas individuales,
• sin embargo, en un conductor, el efecto de la fuerza magnética sobre los portadores de carga se transmite a la red cristalina mediante fuerzas internas de arrastre (Ley de Ohm microscópica).
• Como resultado, la fuerza magnética bien puede realizar un trabajo sobre un segmento a conductor través de la interacción de los portadores de carga con la red cristalina que lo forma.

Notar que este movimiento (en promedio) hace que la carga se comporte como una espira de corriente \(I=\frac{q^2 |\vec{B}|}{m}\) y área \(\vec{\cal S}=\frac{\pi m^2 |\vec{v}|^2}{q^2|\vec{B}|^3}\vec{B}\), lo que dá origen a un momento magnético \(\vec{M}\approx \frac{\pi m |\vec{v}|^2}{|\vec{B}|^2}\vec{B}\)

En general, si \(r\) es pequeño frente al desplazamiento en un período, la trayectoria promedio de la partícula será aproximadamante la de una partícula con momento magnético \(\vec{M}\approx \frac{\pi m |\vec{v}_{\perp}|^2}{|\vec{B}|^2}\vec{B}\).

\[ \small \vec{E}_{\rm H}= -\vec{v}\times \vec{B} \] \[ \small I = q n \vec{v}\cdot \vec{\cal S}\;\;\; v_{\parallel}= \frac{I}{q n |\vec{\cal S}|} \] \[\begin{eqnarray*} V_{\rm H}&=& -\vec{E}_{H}\cdot \vec{w}=\vec{w} \cdot (\vec{v}\times \vec{B})\\ &=& B_{\perp} v_{\parallel} |w|= \frac{B_{\perp} I |w|}{ q n |\vec{\cal S}|}\\ &=& \frac{B_{\perp} I}{ q n |\vec{d}|}= R_{H} \frac{B_{\perp}}{|\vec{d}|}I \end{eqnarray*}\]

\[ \small R_{H}=\frac{|\vec{E}_{H}|}{j_{\parallel}{B}_{\perp}}=\frac{1}{q n} \]

\[ \small n= \frac{I}{q d} \left(\frac{\partial V_{\rm H}}{\partial B_{\perp}}\right)^{-1} \]

• En presencia de un campo magnético, las partículas cargadas tienden a moverse en forma helicoidal alrededor de las líneas de campo magnético.
• En un campo no homogeneo, pero con simetría cilíndrica, las partículas cargadas tenderán a orbitar el eje de simetría, y reduciendo su radio de giro al avanzar. Como resultado, una región con este tipo de campos se comporta como una lente, que enfoca las trayectorias de las partículas.
• Este principio es una de las bases del microscopio electrónico, y de los tubos de rayos catódicos usados en las antiguas pantallas de tv.

• Tokamak: acrónimo ruso de Cámara Toroidal.
• Permite contener un plasma (un gas de iones a muy alta temperatura).
• Fundamental en el desarrollo de la tecnología de Fusión Nuclear.
• Proyecto ITER: Se propone producir \(500{\rm MW}\) usando \(50{\rm MW}\) de potencia.
• China + Unión Europea + India + Japón + Korea + Rusia + USA
• \(24\times 10^9\) EUR.

• Desarrollado por Ernest O. Lawrence.
• Es uno de los tipos más antiguos de aceleradores de partículas cargadas.
• Consta de dos placas semi-circulares huecas, sometidas a una diferencia de potencial alternante.
• Un campo magnético uniforme fuerza a las partículas a mantenerse en un movimiento circular.
• Si la frecuencia angular de la tensión alterna coincide con la frecuencia de ciclotrón \(\omega=\frac{q|\vec{B}|}{m}\), la trayectoria de las partículas será una espiral de radio y velocidad cresciente.

• Al alcanzar velocidades próximas a las de la luz, la masa de las partículas comienza a crecer, con lo que la frecuencia de ciclotrón se ve alterada.
• Esto produce una pérdida en la condición de resonancia, con la consecuente reducción de la eficiencia.
• EL sincrotrón permite alcanzar energías relativistas ajustando la frecuencia del potencial de acelerado.
• El mayor Sincrotrón construído forma parte del LHC.
• Velocidades de \(.999c\)
• Construcción: \(.3\times 10^9\) EUR + Operación: \(.765\times 10^9\)EUR/año.

• Cuando un átomo o molécula pierde algunos de sus electrones, queda eléctricamente cargado.
• El espectrómetro de masas es un dispositivo ideado para identificar y separar diferentes clases de átomos y moléculas presentes en una muestra, con diferente relación \(m/q\).