• existían materiales “imantados” (como la piedra imán) que atraían a ciertos metales.
• Una aguja imantadas tendían a alinearse en la dirección Norte-Sur en ausencia de otros imanes (brújulas).
• Los imanes naturales tienen dos polos, llamados “Norte” y “Sur”. Los polos iguales se repelen, y los polos distintos se atraen.
• No es posible aislar un polo: al romper un imán, cada fragmento tendrá también un polo Norte y un polo Sur
• El planeta tierra se comporta como un imán gigante, cuyos polos se encuentran aproximadamente alineados con los polos geográficos.
• Los metales que son atraídos por los los imanes adquieren, luego de interactuar con estos, cierta magnetización: se convierten en imanes no-permanentes.

• Podemos representar a un material imantado como formado por imanes elementales, caracterizados por un momento magnético \(\vec{M}\).

• Se verifica experimentalmente que el torque que siente un momento magnético \(\vec{M}_1\) en presencia de otro \({\vec M}_2\), se puede expresar como \[ {\cal T}= \frac{\mu_0}{4\pi} \vec{M}_1 \times \frac{3(\hat{r}_{12}\cdot \vec{M}_2)\hat{r}_{12}-\vec{M}_{2} }{|\vec{r}_{12}|^3} \] Esta expresión es sospechosamente semejante a la del torque que el campo de un dipolo eléctrico ejerce sobre otro dipolo eléctrico!.

Cerca del centro del alambre que lleva la corriente, el campo magnético

• yace sobre el plano perpendicular al alambre.
• es perpendicular a la dirección radial (las líneas de campo son circunferencias concéntricas con la corriente).
• su sentido obedece a la regla de la mano de derecha
• Su intensidad es inversamente proporcional a la distancia al alambre.
• su intensidad es proporcional a la corriente.

Biot y Savart generalizaron esta relación para corrientes a lo largo de curvas cerradas en general, en cualquier posición del espacio:

\[ \vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\oint_{\cal C} \frac{d\vec{\ell} \times (\vec{r}-\vec{\ell})}{|\vec{r}-\vec{\ell}|^3} \]

que se reduce al resultado de Oersted si \(\vec{r}\) es cercano a algún punto del alambre que lleva la corriente…

Para ver que efectivamente esta expresión reproduce los resultados de Oersted, consideremos un alambre largo, y un punto \(P\) cercano a su centro. Conviene parametrizar \({\cal C}\) como \(\vec{\ell}(\phi)=r \tan(\phi) \hat{u}_{\parallel}\), de manera que \(d\vec{\ell}=\frac{r d\phi}{\cos(\phi)^2}\hat{u}_{\parallel}\).

\[\begin{eqnarray*} \vec{B}(\vec{r})&=&\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\phi_{1}}^{\phi_2} \!\!\!\frac{ \frac{r \hat{u}_{\parallel} }{\cos(\phi)^2} \times(-r \tan(\phi) \hat{u}_{\parallel} + \vec{r}) d\phi}{(r/\cos(\phi))^{3}}\\ &=& \frac{\mu_0 i}{4\pi r^3}\int_{\phi_{1}}^{\phi_2} \!\!\!\frac{ \frac{r \hat{u}_{\parallel} }{\cos(\phi)^2} \times( \vec{r}) d\phi}{\cos(\phi)^3}\\ &=&\frac{\mu_0 i \hat{u}_{\parallel}\times \hat{r} }{4\pi r}\int_{\phi_{1}}^{\phi_2} \cos(\phi)d\phi \rightarrow {\color{red}{\frac{ \mu_0 i \hat{u}_{\parallel}\times \hat{r} }{2\pi r}}} \end{eqnarray*}\]

Notar que el resultado no cambia si la curva es sólo aproximadamente recta dentro de una longitud \(L\ll r\) alrededor del origen.

Con el eje \(z\) a lo largo del eje de simetría, y el origen en el centro de la espira, parametrizamos la curva \({\cal C}\) como \(\vec{\ell}(\phi)=a (\cos(\phi)\hat{u}_x+\sin(\phi)\hat{u}_y)\), \(d\vec{\ell}=a (-\sin(\phi)\hat{u}_x+\cos(\phi)\hat{u}_y) d\phi\), \(-d\vec{\ell}\times \vec{\ell} =a^2 \hat{u}_z d\phi\) Debido a la simetría, el campo será paralelo al eje: \({\bf B}(z)=B(z)\hat{u}_z\), con

Para este caso, debemos descomponer la integral sobre la curva \({\cal C}\) en sus cuatro lados \({\cal C}={\cal C}_1+ {\cal C}_2+{\cal C}_3+{\cal C}_4\): \[ \vec{B}(\vec{r})=\sum_{m=1}^4 \frac{\mu_0 i}{4\pi}\oint_{{\cal C}_m} \frac{d\vec{\ell} \times (\vec{r}-\vec{\ell})}{|\vec{r}-\vec{\ell}|^3} \] Debido a la simetría del problema,

• El campo magnético sólo puede tener componente sobre el eje de la espira
• La contribución en esa dirección de los cuatro lados son iguales.

Parametrizando \(\vec{\ell}= -\sqrt{a^2+z^2}\tan(\phi)\hat{u}_x+ a \hat{u}_y\), \(d\vec{\ell}=-\frac{\sqrt{a^2+z^2}}{\cos^2(\phi)}\hat{u}_x d\phi\) \(-\phi_0 \leq \phi\leq \phi_0\) \(\phi_0=\arctan(\frac{a}{\sqrt{a^2+z^2}})\) \[\begin{eqnarray*} B(z)&=&\frac{\mu_0 i }{\pi}\int_{-\phi_0}^{\phi_0}\frac{a \sqrt{a^2+z^2}/\cos^2(\phi) d\phi }{(\sqrt{a^2+z^2}/\cos(\phi))^3} \end{eqnarray*}\]

• Si \({\cal C}\) yace en un plano, \(\vec{\cal S}\) es perpendicular al plano, y su magnitud es el área de la superficie que encierra \({\cal C}\).
• El sentido de \(\vec{\cal S}\) viene dado por la regla de la mano derecha.
• De esta manera, un lazo de corriente se comporta como un momento magnético \(\Rightarrow\) todo momento magnético puede modelarse como el resultado de una pequeña corriente localizada.

• Hoy sabemos que el origen del magnetismo en la materia son los momentos magnéticos atómicos.
• El comportamiento típico de los electrones en los átomos es moverse en forma errática dentro de sus órbitales, de manera que la corriente neta promedio es nula.
• Sin embargo, en ciertas especies atómicas (como el \(Fe\) y el \(Ni\), entre otros), organizan sus electrones de manera que su movimiento resulta en una corriente no nula: cada átomo se comporta como un momento magnético atómico.

• El campo magnético que puede producirse mediante una espira está limitado por la intensidad máxima de corriente que es posible hacer circular por esta.
• En las aplicaciones, se logran campos mucho más intensos mediante alambres enrollados, compuestos por un gran número de espiras. De esta manera la intensidad del campo se multiplica por el número de espiras que componga al bobinado.
• Si el bobinado está enrollado en forla helicoidal, las líneas de campo en su interior son forzadas a mantenerse paralelas a su eje \(\rightarrow\) \(\vec{B} \approx\) es uniforme en su interior. Decimos entonces que el bobinado es un solenoide.
  

• Si un elemento de corriente es capaz de producir un campo magnético que ejerce torque sobre un momento magnético (y por lo tanto una fuerza), el principio de acción y reacción implica que en presencia de un campo magnético, una corriente debe estar sujeta a una fuerza. Es posible deducir por este camino que la fuerza que siente un elemento de conductor \(d\vec{l}\) que transporta una corriente \(i\) será \[ d\vec{F} = i d\vec{l}\times \vec{B} \]

• Como consecuencia, la fuerza entre dos corrientes rectilineas será atractiva si las corrientes son paralelas, repulsiva si son antiparalelas, y nula si son perpendiculares \[ d^2\vec{F} = \frac{\mu_0 i_1 i_2 }{2\pi} \frac{d\vec{\ell}_1\times d\hat{\ell}_{2}\times (\vec{\ell}_1-\vec{\ell}_{2})}{|\vec{\ell}_1-\vec{\ell}_{2}|^3} \] que es el equivalente a la Ley de Coulomb para la fuerza magnética entre corrientes.