Clase 08 - Ejemplos de cálculo.
03 de abril de 2019
Ejemplo: esfera uniformemente cargada con un agujero esférico.
- Descomponemos la distribución como una esfera con densidad de carga uniforme, y otra esfera más pequeña con densidad de carga uniforme y opuesta, en la región del agujero.
- Calculamos los campos de ambas distribuciones. \[ \vec{E}_1 = \frac{\rho \vec{r}}{3 \varepsilon_0}\times \left\{ ^{1}_{\frac{R^3}{|\vec{r}|^3}} \;\;^{|\vec{r}|<R}_{|\vec{r}|>R} \right. \] \[ \vec{E}_2 = \frac{-\rho (\vec{r}-\vec{a})}{3 \varepsilon_0}\times \left\{ ^{1}_{\frac{b^3}{|\vec{r}-\vec{a}|^3}} \;\;^{|\vec{r}-\vec{a}|<b}_{|\vec{r}-\vec{a}|>b} \right. \]
- Dentro de la cavidad, \[ \vec{E}_1+\vec{E}_2= \frac{\rho \vec{r}}{3 \varepsilon_0}- \frac{\rho \vec{r}-\vec{a}}{3 \varepsilon_0} = \frac{\rho \vec{a}}{3 \varepsilon_0} \]
Ejemplo: campos y potenciales alrededor de un átomo
En el modelo atómico, asumimos que el núcleo corresponde a una carga puntual positiva, de magnitud \(Z e\), rodeada por una nube de carga total \(-Z e\), con una densidad volumétrica de carga proporcional a \(\rho(r)\approx e^{-r/a}\) donde \(a=0,5 \times 10^{-10}{\rm m}\).
Queremos calcular el campo y el potencial asociado a la distribución.
Átomo descentrado
Ahora que conocemos el potencial para el caso centrado, podemos resolver el caso en que el centro de la nube electrónica no coincide con el núcleo, sino que está desplazado en un vector \(\vec{d}\)
- El potencial será la superposición del potencial de la carga puntual en \(\vec{d}\), con el de la nube, centrada en el origen:
\[\begin{eqnarray*} V_{\rm nucleo}(\vec{r}) &=& \frac{Z e}{4\pi\varepsilon_0 |\vec{r}-\vec{d}|}\\ V_{\rm nube}(\vec{r}) &=& \frac{Z e}{4\pi\varepsilon_0}\left(\exp(-r/a)(\frac{1}{r}+\frac{1}{a})-\frac{1}{r}\right)\\ V(\vec{r})&=&V_{\rm nucleo}(\vec{r})+V_{\rm nube}(\vec{r})= \frac{Z e}{4\pi\varepsilon_0}\left(\exp(-r/a)(\frac{1}{|\vec{r}|}+\frac{1}{a}) + \frac{1}{|\vec{r}-\vec{d}|}-\frac{1}{|\vec{r}|}\right) \end{eqnarray*}\]
Capacidad de un conductor coaxial
- Cargas distribuídas sobre las superficies de los conductores.
- \(Q_1={2\pi r_1 L} \sigma_1\)
- \(Q_2=2\pi L( r_{2,i} \sigma_{2,i} + r_{2,e} \sigma_{2,e})\)
- \(Q_3={2\pi r_3 L} \sigma_1\)
\(\sigma_{2,i}=-\sigma_{1}\).
- Simetría cilíndrica
- \(z\leftrightarrow -z\)
- \(x \leftrightarrow -x\), \(y\leftrightarrow -y\)
- \(z \leftrightarrow z+\Delta z\)
- Rotaciones alrededor de \(z\): \(x\rightarrow x \cos(\phi)-y\sin(\phi)\), \(y\rightarrow y \cos(\phi) + x\sin(\phi)\),
- Forma del campo eléctrico: \[ \vec{E}(r \hat{r}+z\hat{z})=\vec{E}(r)\hat{r} \;\;\;\;\;\hat{r}\perp \hat{z}\,\;\;\; r=\sqrt{x^2+y^2} \]
Superficie gaussiana: Cilíndro de radio \(r\) y altura \(h\) concéntrico.
Ley de Gauss: \(\int_{\cal S}\vec{E}\cdot d\vec{\cal S}=\frac{Q({\cal S})}{\varepsilon_0}=\frac{\lambda(r)h}{\varepsilon_0}\) \[\begin{eqnarray*} \int_{\cal S}\vec{E}\cdot d\vec{S}&=&\int_{{\cal S}_{superior}}\vec{E}\cdot d\vec{\cal S} + \int_{{\cal S}_{inferior}}\vec{E}\cdot d\vec{\cal S} +\int_{{\cal S}_{lateral}}\vec{E}\cdot d\vec{\cal S} \end{eqnarray*}\]
Pero \(\vec{E}\cdot d\vec{\cal S}=E(r)\hat{r}\cdot(\pm \vec{z}) dS =0\) sobre las tapas: \[ \int_{{\cal S}_{superior}}\vec{E}\cdot d\vec{\cal S} = \int_{{\cal S}_{inf}}\vec{E}\cdot d\vec{\cal S}=0 \] y \(\vec{E}\cdot d\vec{\cal S}= E(r)\hat{r} \cdot (\hat{r} dS)=E(r)dS\) sobre la superficie lateral. Luego, \[ \int_{\cal S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\vec{E}(r)\int_{{\cal S}_{lateral}} dS= 2\pi r h E(r) \] Finalmente, \[ E(r)=\frac{\lambda(r)}{2\pi r \varepsilon_0} \]
\[ \lambda(r)=\left\{ \begin{array}{l r} 0 & r<r_1\\ 2\pi r_1 \sigma_1 & r_{2,i}>r>r_1\\ 0 & r_{2,e}>r>r_{2,i}\\ 2\pi r_{2,e} (\sigma_{2,e}) & r_3>r>r_{2,e}\\ 2\pi r_e (\sigma_{2,e}+\sigma_3) & r>r_3 \end{array} \right. \;\;\;\;\; \]
Pero,
- el conductor \(3\) está conectado a tierra. Luego, \(V(r)-V(\infty)=0\rightarrow E(r)=0\) para \(r>r_3\). Por lo tanto, \(\sigma_3=-\sigma_{2,e}\)
- \(\sigma_{2,e}= \frac{Q_1 + Q_2}{2\pi L r_{2,e}}\).
\[ V(\vec{r})=\left\{ \begin{array}{l r} \frac{\sigma_{2,e}r_{2,e}\log\left(\frac{r_3}{r_{2,e}}\right)+ \sigma_{1}r_{1}\log\left(\frac{r_{2,i}}{r_1}\right)}{\varepsilon_0} & r<r_1\\ \frac{\sigma_{2,e}r_{2,e}\log\left(\frac{r_3}{r_{2,e}}\right) + \sigma_{1}r_{1}\log\left(\frac{r_{2,i}}{|\vec{r}|}\right)}{\varepsilon_0} & r_{2,i}>r>r_1\\ \frac{\sigma_{2,e}r_{2,e}\log\left(\frac{r_3}{r_{2,e}}\right)}{\varepsilon_0} & r_{2,e}>r>r_{2,i}\\ \frac{\sigma_{2,e}r_{2,e}\log\left(\frac{r_3}{|\vec{r}|}\right)}{\varepsilon_0} & r_3>r>r_{2,e}\\ 0 & r>r_3 \end{array} \right. \]
Combinación de F.E.M. en serie y paralelo
- Si en una rama de un circuito encontramos varios generadores, de FEM’s \({\cal E}_k\) y resistencias internas \(R_{int,k}\) es posible remplazarlos por un único generador equivalente, cuya F.E.M. \({\cal E}_{eq}=\sum {\cal E}_{k}\) , y de resistencia interna \(R_{int,eq}=\sum_k R_{int,k}\).
- Por otro lado, en una combinación paralelo, \(R_{int,eq}=\left(\sum_k R^{-1}_{int,k}\right)^{-1}\) y \({\cal E}_{equiv}=R_{int,eq}\left(\sum_k \frac{{\cal E}_{k}}{{\cal R}_{int,k}}\right)\).
(Probar como ejercicio)
Theorema de Thévenin
- En general, dado un par de nodos en cualquier combinación de resistencias y FEM’s en estado estacionario, es posible encontrar un circuito equivalente compuesto solamente por una resistencia y una FEM en serie. Este resultado se conoce como Theorema de Thévenin
- Este teorema es una consecuencia de la relación lineal entre tensión y corriente en las resistencias, y deja de ser válido si se introducen elementos no lineales (por ejemplo, diodos).
- En las condiciones del teorema, la energía entregada/absorbida por el circuito equivalente es igual a la suma algebráica de potencias entregadas/absorbidas por sus componentes.
- Como herramienta de cálculo, el teorema es muy útil cuando se conoce de antemano una expresión sencilla para los parámetros equivalentes.
- Desde el punto de vista práctico, permite trabajar con circuitos complicados como cajas negas que se caracterizan por dos parámetros medibles directamente.
Ejemplo
