Clase 07 - Circuitos electricos. Leyes de Kirchhoff. Medida de tensiones y corrientes.

Prof. Juan Mauricio Matera

29 de marzo de 2019

Repaso

  • Densidad de Corriente eléctrica: \(\vec{j}= \sum_i q_i n_i \langle \vec{v}\rangle_i\). Cantidad neta de carga que atraviesa una unidad de superficie por unidad de tiempo.

  • Corriente a través de una superficie \({\cal S}\): \(I_{\cal S}=\int \vec{j}\cdot d\vec{\cal S}\)

  • Corriente eléctrica en un haz de partículas cargadas: \(I_{\cal S}=\int \vec{j}\cdot d\vec{\cal S}\) con \({\cal S}\) cortando todo el haz.

  • La corriente se mide en Amperes \({\rm A}\).

  • Ley de Ohm microscópica: \(\vec{j}=\sigma \vec{E}\).
    • \(\sigma\) es la conductividad del medio
    • Se deduce de los efectos disipativos en los portadores de carga.
    • válida para conductores y soluciones iónicas (no es una ley fundamental de la naturaleza).
  • Ley de Ohm macroscópica: En un conductor rectilineo, \(\Delta V= R I\), con \(R=\frac{L}{\sigma A}=\frac{\rho L}{A}=\) la Resistencia del conductor, \(A\) su sección, \(L\) su longitud y \(\rho=\sigma^{-1}\) su resistividad
  • Ley de Joule: en un conductor resistivo, \(P_{dis}= R I^2\) con \(P\) la Potencia disipada en forma de calor.
  • En general, \(P_{absorbida}= -\Delta V \times I\), con \(P\) la potencia absorbida por un elemento del circuito, I la corriente que lo atraviesa y \(\Delta V\) la diferencia de potencial medida en el sentido de la corriente. \(P\) puede ser n egativa (el elemento entrega energía electrica).
  • Un generador eléctrico es un dispositovo capaz de sostener una diferencia de potencial entre dos terminales.
  • F.E.M.: Trabajo externo (no eléctrico) de una fuerza que separa cargas dentro de un generador. \({\cal E}=-\int_{-}^{+}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}\)
  • En una pila (y en los generadores reales), la diferencia de potencial entre los bornes viene dada por \({\cal E}-i R_{int}\) donde \(R_{int}\) es la Resistencia Interna del generador.
  • La potencia suministrada por un generador puede expresarse como \(P= V I\) donde \(V\) es la diferencia de potencial entre sus terminales, e \(I\) la corriente que lo atraviesa (en el sentido de la terminal negativa a la positiva).

Equipotenciales en un circuito de Corriente continua (estacionario)

Notar que en general, las equipotenciales pueden no estar definidas dentro del generador de FEM, pero sí lo están en una pila.

Circulación de la densidad de corriente y del campo eléctrico en un circuito con una pila

Circuitos

  • Un circuito eléctrico es la interconexión de fuentes de F.E.Ms, y resistencias y otros componentes electrónicos, formando caminos conductores cerrados.
  • El circuito se considera un sistema aislado y neutro:
    • la suma de las potencias entregadas por las F.E.M. es igual a la potencia consumida: \[\oint -\vec{E}\cdot d\vec{\ell}=0\] sobre cualquier curva cerrada dentro del conductor.
    • El flujo neto de carga a través de una superficie que envuelva cualquier componente (completo) del circuito es nulo: \[\oint_{\cal S} \vec{j}\cdot d\vec{\cal S}=0\]
  • En las aplicaciones, la descripción de los circuitos se hace en forma modular
    • La resistencia de los cables se desprecia, o se representan como resistencias localizadas.
    • Los componentes se describen en términos de sus características eléctricas (resistencia, F.E.M., capacidad) y su función en el circuito, sin detallar sus aspectos geométricos o forma de construcción.

Terminología

Para describir un circuito, se introducen los siguientes conceptos:

  • Malla : una trayectoria cerrada simple a través de los conductores y componentes del circuito.
  • Nodo : punto de unión de tres o más conductores.
  • Rama : secuencia de conductores entre dos nodos. La corriente que atraviesa cada conductor o componente dentro de una rama es la misma.

Reglas de Kirchhoff

Con estos conceptos, podemos reescribir las condiciones de conservación de la energía y la carga en un sistema en forma discreta:

  • Conservación de la energía: Dada cualquier Malla \({\cal M}\), \[\oint_{\cal M} -\vec{E} \cdot d\vec{\ell}= \sum_i \Delta V_{i}=0\] donde \(\Delta V_i\) es la diferencia de potencial entre los bornes del i-ésimo elemento sobre la malla, en el sentido de circulación de la malla
  • Nótese que la ecuación no cambia si se invierte el sentido de circulación de la malla.

  • Conservación de la carga:
    • La corriente a lo largo de una rama es constante: \[ \oint_{\cal S} \vec{j}\cdot d\vec{\cal S}= I_{\rm saliente} - I_{\rm entrante} =0 \] donde \({\cal S}\) es una superficie cerrada que envuelve una parte de la rama, e \(I_{\rm saliente}\) y \(I_{\rm entrante}\) son las contribuciones a la integral en los puntos que \({\cal S}\) intersecta a la rama.
    • Sobre un nodo, la suma de corrientes entrantes es igual a la suma de corrientes salientes: \[ \oint_{\cal S} \vec{j}\cdot d\vec{\cal S}= \sum_{i \in {\rm salientes}} I_{i} - \sum_{i \in {\rm entrantes}} I_{i} =0 \] donde \({\cal S}\) es una superficie que encierra al nodo.

  • Estas condiciones se conocen como Reglas de Kirchoff.
    • Regla de mallas: \(\sum_i \Delta V_i =0\) alrededor de cualquier malla
    • Regla de nodos: \(\sum_k \Delta i_k =0\) en cualquier nodo
  • Resolver un circuito consiste en determinar todas sus corrientes y caídas de potencial a partir de sus parámetros (F.E.M’s, resistencias, etc).
  • En un circuito con \(N\) nodos, las ecuaciones de nodos proveen \(N-1\) ecuaciones linealmente independientes.
  • En un circuito con \(M\) mallas simples (aquellas tales que todo par de puntos está conectado exactamente por dos caminos), la regla de mallas provee \(M\) ecuaciones independientes.
  • En lo que sigue del módulo consideraremos circuitos en Estado Estacionario (todas las tensiones y corrientes son constantes).

Circuito Resistivo elemental

Consideremos el circuito más simple imaginable: una resistencia conectada a una F.E.M.

  • Podemos asumir que la corriente cruza a la FEM en la dirección que el potencial crece

  • Una única malla: \[ {\cal E}- i R=0 \]

  • No hay nodos. \[ i={\cal E}/R \]

Notemos ahora que si proponíamos el sentido opuesto de circulación de la corriente, \[ {\cal E} + i R = 0 \] y luego, \(i=-{\cal E}/R\). La corriente circulaba en la dirección opuesta (la que elegimos al principio).

Circuito RC estacionario

Consideremos ahora este otro circuito. Decimos que la resistencia tiene un Capacitor en Paralelo.

  • Por ser estacionario, asumimos que el capacitor está cargado (Q=C V={}). Luego, no hay corriente a través de él (\(i_c=-\frac{dQ}{dt}=0\)).
  • Los únicos nodos (\(c\) y \(d\)) son triviales: \(i-i_R-i_C=0\rightarrow i'=i\).
  • La primera malla \(abcd\) es idéntica al caso anterior: \({\cal E}-i R=0\). Obtenemos entonces \(i = i' = {\cal E}/R\)
  • Elegimos la segunda malla como \(abef\): \[ {\cal E}- V_C={\cal E}- Q/C=0 \Rightarrow Q= C {\cal E} \]

Circuito con resistencias en serie

  • Nuevamente, en este circuito no hay nodos
  • La ecuación de mallas resulta ser \[ {\cal E} - i R_1 -i R_2 =0 \] de manera que \[ i = \frac{{\cal E}}{R_1+R_2} \]

  • A los efectos del cálculo de la corriente, el circuito es equivalente a un circuito con una única resistencia de valor \(R_{eq}=R_1 + R_2\).
  • En general, si sobre una rama encontramos más de una resistencia \(R_1\), \(R_2\), \(\ldots\), decimos que estas resistencias están en serie, y podemos “simplificar” el circuito remplazandolas por una única \(R_{eq}=R_1 + R_2 + \ldots\).
  • Una vez resuelto el circuito, podemos recuperar las caída de tensión en la resistencia \(R_k\) como \(\Delta V_k = i R_k\).
  • La potencia total disipada en un conjunto de resistencias en serie es igual a la potencia disipada por su resistencia equivalente: \[ P=\sum_k i^2 R_k = i^2 \sum_k R_k= i^2 R_{eq} \]

Circuito con resistencias en paralelo

  • En el nodo \(c\), \(i-i_1-i_2=0\). Luego, \(i=i_1+i_2\).
  • Las ecuaciones de las mallas \(abcd\) y \(abef\) resultan ser \[ {\cal E} - i_1 R_1 =0 \;\;\;\mbox{ y } \;\;\; {\cal E} - i_2 R_2 =0 \] de manera que \[ i_1 = \frac{{\cal E}}{R_1}\;\;\;, \;\;\; i_2=\frac{{\cal E}}{R_2} \;\;\;,\mbox{ y } \;\;\; i=\frac{{\cal E}}{1/R_1+1/R_2} \]
  • A los efectos del cálculo de la corriente, el circuito es equivalente a un circuito con una única resistencia de valor \(R_{eq}=(R_1^{-1} + R_2^{-1})^{-1}\).

  • En general, si entre un par de nodos tienen conectadas resistencias \(R_1\), \(R_2\), \(\ldots\), decimos que estas resistencias están en paralelo, y podemos “simplificar” el circuito remplazandolas por una única \(R_{eq}=(1/R_1 + 1/R_2 + \ldots)^{-1}\).
  • Una vez resuelto el circuito, podemos recuperar la corriente en la resistencia \(R_k\) como \(i_k=\Delta V/R_k\).
  • La potencia total disipada en un conjunto de resistencias en serie es igual a la potencia disipada por su resistencia equivalente: \[ P=\sum_k \frac{\Delta V^2}{R_k} = \Delta V^2 \sum_k \frac{1}{R_k} = \frac{\Delta V}{R_{eq}} \]

Conductor como una combinación serie y paralelo de resistencias

Medidas de diferencias de potencial y corrientes

  • Hasta aquí, asumimos que los componentes de un circuito tenían características conocidas y, mediante las leyes de Kirchoff, dedujimos los valores de tensión y corrientes en cada uno de ellos.
  • Sin embargo, en la práctica interesa medir las tensiones y las corrientes para luego deducir las características de los componentes. Para eso se utilizan los voltímetros y los amperímetros.
  • Estos instrumentos deben dar una lectura sin alterar de forma apreciable al circuito.
  • Los parámetros que caracterizan a voltímetros y amperímetros son:
    • Rango de trabajo: Valores máximos y mínimos que permite medir.
    • Tolerancia: Porcentaje de incerteza en el resultado.
    • Resistencia Interna: Efecto que tiene al ser conectado sobre el circuito.
  • Un Voltímetro es un dispositivo que permite determinar la diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito.
    • Tiene dos terminales: una roja y una negra. La lectura del dispositivo nos dará la diferencia de potencial \(\Delta V=V_{rojo}-V_{negro}\)
    • Para medir la diferencia de potencial sobre un componente, el Voltímetro se conecta en Paralelo con este.
    • Para minimizar el efecto sobre el circuito, la resistencia del voltímetro debe ser mucho más grandes que las resistencias que intervienen en el circuito.

Voltímetro Electrostático

  • Es un dispositivo que permite determinar una diferencia de potencial
  • Tiene la estructura de un capacitor variable, con una armadura fija, y otra movil y con una aguja solidaria a una de las armaduras, y a un muelle.
  • La armadura móvil está sujeta a dos torques:
    • el debido al muelle \({\cal T}_{muelle}=k \varphi\)
    • el debido a la interacción electrostática con la otra armadura.
  • Este dispositivo sólo sirve para medir diferencias de potencial grandes (del orden de \(kV\)).

  • Un Amperímetro es un dispositivo que permite determinar la corriente que circula en una rama del circuito.
    • Tiene dos terminales: una roja y una negra. Para medir, se intercalan las terminales en serie con la rama. La lectura indicará la corriente en el sentido que va de la terminal negra hacia la roja.
    • Para minimizar el efecto sobre el circuito, la resistencia del amperímetro debe ser la mínima posible, para no introducir diferencias de potencial.

Galvanómetros de aguja

  • Permiten medir corrientes muy pequeñas con mucha precisión.
  • Discutiremos su principio de funcionamiento en el segundo módulo.

  • Mediante un amperímetro, también podemos medir diferencias de potencial agregando en serie con el instrumento una resistencia de valor conocido \(R\). La lectura de la tensión se obtiene multiplicando la corriente medida por el valor de la resistencia.

  • Mediante un voltímetro podemos medir corrientes conectando una resistencia en paralelo al instrumento de valor conocido y muy pequeño \(R\). La lectura de la corriente se obtiene como el cociente entre la lectura de \(V\) y \(R\).

  • Por este motivo, es común encontrar dispositivos que miden tensiones, corrientes y otros parámetros eléctricos, a los que llamamos Multímetros o \(AVO-metros\). El típo de magnitud y el rango se seleccionan mediante un dial y un sistema de clavijas.

  • Los múltímetros modernos son capaces de medir directamente otras magnitudes como resistencias, capacidades, temperaturas y muchas otras magnitudes.