Problema 1

La figura 1 corresponde a una porción de una montaña rusa en un parque de diversiones, donde un carro baja desde una cierta altura y luego recorre el rizo. Determinar la mínima altura desde la que hay que dejar caer el carro para que no se despegue del rizo.

Se supone aqui que las ruedas del carro del parque de diversiones están montadas en ejes sin fricción y tienen momento de inercia despreciable, de manera que el sistema es conservativo y la única energía cinética a tener en cuenta es la del movimiento traslacional del carrito. La suma de ésta energía y la energía potencial gravitatoria debe mantenerse constante ya que sobre el carrito actúan sólo la fuerza de gravedad, conservativa, y la fuerza de contacto con la pista que es en todo momento normal a ésta debido a la ausencia de fricción. Al ser normal a la pista es también normal a la trayectoria del carrito de donde se deduce que no realiza trabajo. Asi, al descender, la energía potencial irá disminuyendo mientras aumenta la energía cinética y al ascender para dar vuelta al rizo sucederá lo contrario. Girando el rizo, la velocidad irá disminuyendo a medida que el carrito se eleva y podría suceder que se desprendiese de la pista y cayera. La condición para que se mantenga en contacto con la pista es justamente la necesidad de la existencia de la ya mencionada fuerza normal de contacto con la pista, que llamaremos N.

Si el carrito se mantiene en contacto con la pista aún en la parte superior de la pista deberá realizar un movimiento circular. La característica de éste movimiento es la presencia de una aceleración centrípeta, es decir que una componente de la aceleración del carrito apunta siempre hacia el centro de la trayectoria circular. Dado que la gravedad es siempre vertical se entiende que la fuerza da la pista es imprescindible para lograr que el carrito describa un movimiento circular. Es la acción conjunta de la gravedad y la fuerza N (las únicas que actúan) que confiere al carrito dicha aceleración centrípeta. En particular, en el punto más alto de la circunferencia:

donde es el radio del rizo.

Pero es la energía cinética del carrito, la cual puede obtenerse de la conservación de la energía considerando las energías en la parte superior de la circunferencia y en el punto donde el carrito comienza su movimiento:

Reemplazo en la ecuación anterior:

despejo :

Y reemplazamos en la condición de contacto:

Despejamos :

Debe dejarse caer desde una altura superior a , esto es por encima del punto superior de la circunferencia.