Problema 4

4) Dos astronautas, cada uno con una masa M, están conectados por medio de una cuerda de longitud L y masa despreciable. Se encuentran aislados en el espacio, orbitando alrededor de su centro de masa, cada uno con una rapidez v. (a) Calcule la magnitud del momento angular del sistema considerando a los astronautas como partículas, y la energía cinética rotacional del sistema. (b) Los astronautas, tirando de la cuerda, logran reducir la distancia entre ellos a la mitad.¿Cuánto valen ahora el momento angular del sistema y su energía cinética? ¿Qué trabajo efectuaron los astronautas?

Los datos del problema, para el tema 1:

los del tema 2:

Cada astronauta tendrá un momento angular igual a , en total:

Para el tema 1:

Para el tema 2:

La energía rotacional de cada uno es , en total:

Para el tema 1:

y para el tema 2:

Si los astronautas reducen la distancia a la mitad, como ningún agente externo efectúa torque alguno sobre el sistema formado por ambos atronautas, el momento angular que poseían se habrá conservado. De modo que la respuesta es la misma para el momento angular, .  Pero la velocidad de los astronautas habrá cambiado. Obsérvese la expresión del momento angular:

Si se reduce a la mitad, la masa de los atronautas es constante y toda la candidad debe conservarse, se vé que la velocidad de los astronautas deberá duplicarse. La nueva energía será:

Para el tema 1:

y para el tema 2:

En ambos casos la diferencia de energía cinética del sistema deberá haber sido provista mediante trabajo mecánico realizado por los astronautas:

Para el tema 1:

y para el tema 2: