Problema 2

2) Una escalera de masa 40kg y 6m de longitud está apoyada sobre una pared lisa y suelo rugoso = 0.4), como muestra la figura. Considerando que el centro de gravedad de la escalera está en la mitad, calcular: a) la fuerza de roce en el piso cuando el hombre ha subido 2m a lo largo de la escalera. b) la altura máxima desde el piso a la que puede ascender antes de que la escalera comience a deslizar.

Considerando las fuerzas que actúan sobre la escalera se ve que en el sentido horizontal actúan solamente la fuerza normal de la pared y la fuerza de roce en el suelo . En el sentido vertical tendremos el peso de la escalera ; la fuerza de contacto con el hombre apoyado, la cual, por hallarse éste en reposo es de la misma magnitud que su peso y la fuerza normal en el suelo :

Los datos son el peso del hombre y de la escalera, las incógnitas son las fuerzas de contacto en la pared y el suelo (3). Tenemos entonces que formular una ecuación más, que puede obtenerse estableciendo el equilibrio de rotacíón de la escalera. Tomando como origen para el cálculo de los torques el punto de apoyo en la pared, se tiene:

Donde es la distancia entre el punto de contacto de la escalera con el suelo y la pared. Se ha puesto para el peso de la escalera ya que se supone en el centro geométrico de la misma y para el peso del hombre ya que deberá obtenerse como resultado en la pregunta . Para la pregunta se le dará el valor , porque si el hombre ha recorrido de los que mide la escalera, la proyección de su peso sobre el suelo se encuentra a del extremo apoyado en el suelo y por lo tanto a de la pared. Finalmente es la altura que alcanza la escalera sobre la pared la cual puede obtenerse de la distancia y de su longitud según:

Los datos del problema son:

Resolviendo las ecuaciones para obtener :

Ahora obtenemos el valor de la normal ejercida por el suelo:

Y verificamos que :

Para obtener , la distancia que puede recorrer el hombre a lo largo de la escalera, debemos imponer una condición adicional debido a que la fuerza de roce llegará a su valor máximo .

El asi obtenido se mide en la horizontal, es decir, el hombre puede avanzar hasta el punto en que su proyección sobre el suelo se halle a una distancia x de la pared. En ese momento dicha proyección se hallará a del punto de contacto con el suelo. Por lo tanto habrá avanzado a lo largo de una fracción de la longitud de la escalera, esto es .

Podrá avanzar a lo largo de la escalera.