Problema 3

Se deja rodar un disco macizo de [] de masa y [] de radio por un plano inclinado de [] de altura. El disco baja rodando sin deslizar. Calcular la velocidad angular del mismo cuando llega a la base del plano. [Los datos entre corchetes corresponden al tema 2.]

Si rueda sin deslizar la fricción entre el disco y el plano es de tipo estático y por lo tanto no realiza trabajo. El punto de apoyo del disco no se mueve respecto del plano y por lo tanto, de modo más general, la fuerza contacto con el plano no realiza trabajo. La única otra fuerza que actúa sobre el cilindro es la de gravedad, conservativa, por lo que la energía mecánica no debe variar mientras el cilindro desciende rodando por el plano inclinado. La energía mecanica inicial es la energía potencial gravitatoria que posee la masa del cilindro por encontrarse a una altura por encima de la base del plano. Una vez en dicha base, la energía mecánica consiste en energía mecánica de traslación (del centro de masas del cilindro) y energía mecánica de rotación (en torno a dicho centro de masas).

Donde I es el momento de inercia del cilindro respecto de su eje de simetría.

La velocidad de traslación está vinculada a la velocidad angular por medio de la ecuación de rodadura:

Obsérvese que el segundo miembro es también igual a si ponemos , el momento de inercia respecto del punto de apoyo, llamado eje instantáneo de rotación. Ésto significa que desde dicho punto de vista, la energía del cilindro es exclusivamente energía cinética de rotación.

De la ecuación de conservación de la energía se despeja la velocidad angular en la base del plano:

El resultado es independiente de la masa del disco, los demás datos del tema 1 y 2 son, respectivamente:

En ambos casos: